Përparimi aritmetik

Problemet në përparimin aritmetik ekzistuan tashmë në kohët e lashta. Ata u shfaqën dhe kërkuan zgjidhje, sepse ata kishin një nevojë praktike.

Kështu, në një nga papirët e Egjiptit të lashtë, që ka një përmbajtje matematikore, papirusi Rhindus (shekulli i XIX pes) përmban një detyrë të tillë: hoqi dhjetë masa bukë për dhjetë njerëz, me kusht që dallimi mes secilit prej tyre të jetë një masë e tetë.

Dhe në veprat matematikore të grekëve të lashtë ka teorema elegante që lidhen me progresin aritmetik. Kështu, Gipsicle e Aleksandrisë (II shekulli pes), i cili përpiloi shumë probleme interesante dhe shtoi librin e katërmbëdhjetë të Parimeve të Euklidit, formuloi idenë: "Në një progresion aritmetik që ka një numër të barabartë termash, shuma e anëtarëve të gjysmës së dytë është më e madhe se shuma e kushteve të 1- Me një numër që është një shumëfish i sheshit prej 1/2 e numrit të termave ".

Ne marrim një seri arbitrare të numrave të plotë pozitivë (më të madhe se zero): 1, 4, 7, ... n-1, n, ..., e cila quhet një sekuencë numerike.

Rendi një. Numrat e një sekuence quhen anëtarët e saj dhe zakonisht janë të shënuara me shkronja me indekse që tregojnë numrin serial të këtij anëtari (a1, a2, a3 ... lexoni: "një 1", "një 2", "një 3-y" dhe kështu me radhë ).

Sekuenca mund të jetë e pafundme ose e fundme.

Dhe çfarë është një përparim aritmetik? Kuptohet si sekuenca e numrave të marra duke shtuar termin e mëparshëm (n) me të njëjtin numër d, që është ndryshimi i progresionit.

Nëse d <0, atëherë ne kemi një progresion në rënie. Nëse d> 0, atëherë një përparim i tillë konsiderohet të jetë në rritje.

Një përparim aritmetik thuhet se është i fundëm nëse vetëm disa nga kushtet e para të tij merren parasysh. Me një numër shumë të madh anëtarësh, kjo është një përparim i pafund.

Çdo përparim aritmetik është dhënë nga formula e mëposhtme:

An = kn + b, me b dhe k janë disa numra.

Deklarata që është e kundërt është absolutisht e vërtetë: nëse një sekuencë është dhënë nga një formulë e ngjashme, atëherë kjo është pikërisht një progresion aritmetik që ka vetitë:

1. Secili anëtar i përparimit është mjeti aritmetik i termit të mëparshëm dhe ai i mëpasshëm.
2. Në anën tjetër, nëse, duke filluar me 2, secili term është mjeti aritmetik i termit të mëparshëm dhe i ardhshëm, dmth. Nëse gjendja është e kënaqur, atëherë kjo rend është një përparim aritmetik. Kjo barazi është gjithashtu një shenjë e përparimit, prandaj, si rregull, quhet pronë karakteristike e përparimit.
   Në mënyrë të ngjashme, një teoremë që pasqyron këtë pronë është e vërtetë: një rend është një përparim aritmetik vetëm nëse kjo barazi është e vërtetë për cilindo prej termave të rendit, duke filluar me 2.

Pronësia karakteristike për çdo katër numra të një progresi aritmetik mund të shprehet me formulën a + am = ak + al nëse n + m = k + l (m, n, k janë numrat e progresionit).

Në një progresion aritmetik, çdo term i nevojshëm (N-th) mund të gjendet duke aplikuar formulën e mëposhtme:

An = a1 + d (n-1).

Për shembull: afati i parë (a1) në progresion aritmetik është dhënë dhe i barabartë me tre, dhe diferenca (d) është e barabartë me katër. Gjeni anëtarin e dyzet e pestë të këtij progresi. A45 = 1 + 4 (45-1) = 177

Formula a = ak + d (n - k) na lejon të përcaktojmë terminin n të një progresi aritmetik përmes cilitdo nga termet e tij k-th, me kusht që ajo të jetë e njohur.

Shuma e termave të progresionit aritmetik (ne nënkuptojmë termet e parë n të progresit të fundëm) llogaritet si më poshtë:

Sn = (a1 + an) n / 2.

Nëse dallimi midis përparimit aritmetik dhe termit të parë është i njohur, atëherë një formulë tjetër është e përshtatshme për llogaritjen:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

Shuma e progresit aritmetik, e cila përmban n terma, llogaritet kështu:

Sn = (a1 + an) * n / 2.

Zgjedhja e formulave për llogaritjet varet nga kushtet e detyrave dhe të dhënave fillestare.

Seria e natyrshme e çdo numri, si 1,2,3, ..., n, ... është shembulli më i thjeshtë i një progresi aritmetik.

Përveç progresionit aritmetik, ka gjithashtu një progresion gjeometrik, i cili ka vetitë dhe karakteristikat e veta.