Ekuacioni i avionit: si për të bërë? Llojet ekuacionet aeroplan

Hapësira Aeroplani mund të përkufizohet në mënyra të ndryshme (një pikë dhe vektoriale, vektori dhe dy pikat, tri pikë, etj). Ajo është me këtë në mendje, ekuacioni avioni mund të ketë lloje të ndryshme. Gjithashtu në kushte të caktuara avioni mund të jetë paralele, pingul, intersecting, etj Në këtë dhe do të flasim në këtë artikull. Ne do të mësojnë për të bërë ekuacionin e përgjithshëm të avionit dhe jo vetëm.

Forma normale e ekuacionit

Supozoj R është hapësira _3, i cili ka një të sistemit koordinativ drejtkëndor XYZ. Ne të përcaktojë një α vektoriale, e cila do të dalë nga pika e fillimit O. Nëpërmjet fund të α vektoriale nxjerrë P aeroplan i cili është pingul me të.

Treguar P në një pikë arbitrarisht Q = (X, Y, Z). Rrezja vektor i pikë Q letrës shenjë f. Gjatësia e vektorit të barabartë p a = IαI dhe Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Ky vektor njësi, i cili është i orientuar ne drejtim si α vektor. α, β dhe γ - janë kënde që janë formuar midis vektor dhe drejtimet pozitive Ʋ akset hapësirë X, Y, Z, përkatësisht. Projeksioni nga një pikë në vektor QεP Ʋ është një konstante e cila eshte e barabarte me p (p, Ʋ) = p (r≥0).

Ekuacionin mësipërme është kuptim kur p = 0. vetëm avioni n në këtë rast, do kryq pikash O (α = 0), e cila është me origjinë, dhe Ʋ njësi vektor, lëshuar nga pika O do të jetë pingul P, megjithëse drejtim të saj, që do të thotë se Ʋ vector përcaktohet deri në shenjë. Ekuacioni i mëparshëm është avioni ynë P, shprehur në formë vektoriale. Por, në funksion të koordinatave të saj është:

P është më e madhe se ose e barabartë me 0. Ne kemi gjetur ekuacionin aeroplan në formë normale.

Ekuacioni i përgjithshëm

Nëse ekuacioni në koordinatat shumohen nga çdo numër që nuk është e barabartë me zero, ne marrim ekuacion ekuivalent me këtë që përcakton aeroplan shumë. Ai do të ketë formën e mëposhtme:

Këtu, A, B, C - është numri i njëherësh të ndryshëm nga zero. Ky ekuacion quhet ekuacioni i formës së përgjithshme të avionit.

Ekuacionet e avionëve. raste të veçanta

Ekuacioni në përgjithësi mund të modifikohen me kushte shtesë. Konsideroni disa prej tyre.

Supozojmë se koeficienti A është 0. Kjo tregon se paralele aeroplan në dem paracaktuar aks. Në këtë rast, forma e ekuacionit ndryshon: Wu + Cz + D = 0.

Në mënyrë të ngjashme, në formën e ekuacionit dhe do të ndryshojnë me kushtet e mëposhtme:

• Së pari, në qoftë se B = 0, ndryshimet ekuacioni në Ax + Cz + D = 0, të cilat do të tregojnë paralelizëm me aksin Oy.
• Së dyti, nëse C = 0, ekuacionin është shndërruar në Ax + me + D = 0, që do të thotë se rreth paralel me boshtin e paracaktuar Oz.
• Së treti, në qoftë se D = 0, ekuacioni do të duket si Ax + By + CZ = 0, që do të thotë se avioni kryqëzon O (origjinën).
• Së katërti, në qoftë se A = B = 0, ndryshimet ekuacioni në CZ + D = 0, e cila do të provojë të paralelizmi Oxy.
• Pestë, nëse B = C = 0, ekuacionin bëhet Ax + D = 0, që do të thotë se avioni është paralel me Oyz.
• Së gjashti, në qoftë se A = C = 0, ekuacionin merr formën Wu + D = 0, dmth, do të raportuar në Oxz paralelizëm.

Forma e ekuacionit në segmente

Në rastin kur numrat A, B, C, D ndryshëm nga zero, forma e ekuacionit (0) mund të jetë si më poshtë:

x / a + y / b + z / c = 1,

ku a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Ne kemi marrë si një ekuacion rezultat i avionit në copa. Ajo duhet të theksohet se ky avion do të ndërpritet boshtin x në pikën me koordinata (a, 0,0), OY - (0, b, 0), dhe Oz - (0,0, S).

Dhënë ekuacionin x / a + y / b + z / c = 1, ajo nuk është e vështirë të kujtoj avioni vendosje të afërm tek një sistem të paracaktuar koordinativ.

Koordinatat e vektor normal

Vektori n normal te avionit P ka koordinatat që janë koeficienti të ekuacionit të përgjithshëm të avionit, dmth n (A, B, C).

Në mënyrë që të përcaktojë koordinatat e n normale, ajo është e mjaftueshme për të dini ekuacionin e përgjithshme e dhënë aeroplan.

Kur përdoret ekuacionin në segmentet, e cila ka formën x / a + y / b + z / c = 1, gjatë përdorimit të ekuacionit të përgjithshme mund të shkruhet koordinatat çdo vektor normal një avion dhënë: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Duhet të theksohet se vektor normal për të ndihmuar për të zgjidhur probleme të ndryshme. Problemet më të zakonshme janë të përbërë në aeroplanët provë pingule ose paralele, detyrën e gjetjes këndet ndërmjet aeroplanët apo kënde mes aeroplanë dhe linjat e drejtë.

Lloji sipas ekuacionit aeroplan dhe koordinatat e pikës vektorit normal

Një vektor n nonzero, pingul me një plan të caktuar, e quajtur normal (normal) në një plan të paracaktuar.

Supozoj se koordinativ hapësirës (a drejtkëndor të sistemit koordinativ) Oxyz të vendosur:

• Mₒ pikë me koordinatat (hₒ, uₒ, zₒ);
• zero vector n = A * i + B * j + C * k.

Ju duhet të bëni ekuacionin e avionit që kalon nëpër Mₒ point pingul n normale.

Në hapësirën kemi zgjedhur çdo pikë arbitrar dhe treguar M (x, y, z). Le vektorin rreze e çdo m pika (x, y, z) do të jetë r = x * I + y * j + z * k, dhe rrezja vektor i një Mₒ pika (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Pika M do të takojnë një avion të caktuar, në qoftë se MₒM vektori të jetë pingul me vektor n. Ne shkruani gjendjen e orthogonality duke përdorur produktin skalar:

[MₒM, n] = 0.

Që MₒM = r-rₒ, ekuacioni vektori i avionit do të duket si ky:

[R - rₒ, n] = 0.

Ky ekuacion mund të ketë një tjetër formë. Për këtë qëllim, pronat e produktit skalar, dhe të konvertohet në anën e majtë të ekuacionit. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Nëse [rₒ, n] pėrcaktuara si s, ne marrim ekuacionin e mëposhtëm: [r, n] - a = 0 ose [r, n] = s, e cila shpreh qëndrueshmërinë e projeksioneve në vektor normal rreze-vektorët e pikave të dhënë që i takojnë aeroplan.

Tani ju mund të merrni të koordinojë avioni lloj regjistrimi ekuacioni ynë vector [r - rₒ, n] = 0. Që r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, dhe n = A * i + B * j + C * k, ne:

Ajo rezulton se ne kemi ekuacioni është formuar avion kalon përmes pikës pingul n normale:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Lloji sipas ekuacionit aeroplan dhe koordinatat e dy pikave të collinear aeroplan vektor

Ne define dy pika arbitrare M '(x', y ', z') dhe M "(x, y" ", z"), si dhe vektorin (një ", një", një ‴).

Tani ne mund të shkruani ekuacion paracaktuar aeroplan që kalon nëpër pikën M ekzistuese 'dhe M ", dhe çdo pikë me koordinata të M (x, y, z) paralel me një vektor të dhënë.

Kështu vektorët M'M x = {x ', y-y'; zz '} dhe M "M = {x" -X', y 'y'; z "-Z '} duhet të jetë coplanar me vektorin a = (a ', a ", një ‴), që do të thotë se (M'M M" M, a) = 0.

Kështu ekuacioni ynë i një avioni në hapësirë do të duket si ky:

Lloji i ekuacionit avion, duke kaluar tri pikë

Le të thonë se ne kemi tre pikë: (x ', y', Z '), (x', y ', z'), (x ‴ Have ‴, z ‴), të cilat nuk i përkasin të njëjtën linjë. Është e nevojshme për të shkruar ekuacionin e avionit kalon përmes tri pikave të caktuara. Teoria gjeometri argumenton se ky lloj i avionit nuk ekziston, kjo është vetëm një dhe i vetëm. Që nga ky aeroplan kryqëzon pikën (x ', y', z '), forma e saj ekuacioni do të jetë:

Këtu, A, B, dhe C janë të ndryshme nga zero në të njëjtën kohë. Gjithashtu avioni dhënë kryqëzon dy pikë më shumë (x ", y", z ") dhe (x ‴, y ‴, z ‴). Në lidhje me këtë duhet të kryhet këtë lloj të kushteve:

Tani ne mund të krijojë një sistem uniform të ekuacioneve (lineare) me panjohura u, v, w:

Në rastin tonë x, y apo z qëndron pikë arbitrar që kënaq ekuacionin (1). Duke pasur parasysh ekuacionit (1) dhe një sistem ekuacionesh (2) dhe (3), sistemi i ekuacioneve tregohet në figurën sipër, ploteson vector N (A, B, C) i cili është jo banale. Kjo është për shkak se përcaktues i sistemit është zero.

Ekuacioni (1) që ne kemi marrë, kjo është ekuacioni i avionit. 3 pikë ajo me të vërtetë shkon, dhe është e lehtë për të kontrolluar. Për ta bërë këtë, ne zgjerimin përcaktues nga elementet në rreshtin e parë. I pronave ekzistuese përcaktues vijon se avioni ynë njëkohësisht kryqëzon tre pikë të paracaktuar fillimisht (x ', y', z '), (x', y ', z "), (x ‴, y ‴, z ‴). Pra, ne kemi vendosur për detyrën në para nesh.

kënd dihedral midis avionëve

kënd dihedral është një formë hapësinore gjeometrike formuar nga dy gjysmë-avionë që rrjedhin nga një vijë të drejtë. Me fjalë të tjera, një pjesë e hapësirës e cila është e kufizuar në gjysmë-avionë.

Supozoni se ne kemi dy aeroplan me ekuacionet e mëposhtme:

Ne di që vektori N = (A, B, C) dhe N¹ = (A¹, H¹, S¹) sipas avionëve paracaktuara janë pingul. Në këtë drejtim, këndi φ ndërmjet vektorëve N dhe N¹ kënd të barabartë (dihedral), e cila ndodhet në mes të këtyre avionëve. Produkti skalar është dhënë nga:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

pikërisht për shkak

kosinusit = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (å ² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Ajo është e mjaftueshme për t'u marrë parasysh se 0≤φ≤π.

Vërtetë dy aeroplanë që ndërpritet, të formuar dy kënd (dihedral): φ ₁ dhe φ _2. shuma e tyre është i barabartë me π (φ ₁ + φ ₂ = π). Sa për Cosines e tyre, vlerat e tyre absolute janë të barabartë, por ato janë shenja të ndryshme, që është, cos φ = ₁ -cos φ _2. Nëse në ekuacionin (0) zëvendësohet me A, B dhe C të A, -B dhe -C respektivisht, ekuacion, ne marrim, do të përcaktojë të njëjtin avion, kënd e vetmja φ në cos φ = ekuacion NN ¹ / | N || N ¹ | Ajo do të zëvendësohet nga π-φ.

Ekuacioni i avionit pingul

Quajtur pingul aeroplan, ndërmjet të cilave kënd është 90 gradë. Duke përdorur materialin e paraqitur më sipër, ne mund të gjeni ekuacionin e një plan pingul me tjetrin. Supozoni se ne kemi dy avionë: Ax + By + Cz + D = 0, dhe + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Ne mund të themi se ata janë ortogonale nëse cos = 0. Kjo do të thotë se NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Ekuacionin e avionit paralel

Ai iu referua dy aeroplanët paralele të cilat përmbajnë asnjë pikë të përbashkët.

Gjendja e avionëve paralele (Ekuacionet tyre janë të njëjta si në pikën e mëparshme) është që vektorët N dhe N¹, të cilat janë pingul me to, collinear. Kjo do të thotë se plotësohen kushtet e mëposhtme proporcionalitetin:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

Nëse kushtet proporcionale janë zgjeruar - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

kjo tregon se avioni të dhënave të njëjtë. Kjo do të thotë se ekuacioni Axe + By + Cz + D = 0 dhe + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 përshkruajnë një aeroplan.

Distanca nga pika në aeroplan

Supozoni se ne kemi një P aeroplan, e cila është dhënë nga (0). Është e nevojshme për të gjetur distancën nga pika me koordinata (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Ju duhet për të sjellë ekuacionin në aeroplan II pamjen normale për ta bërë atë:

(Ρ, v) = p (r≥0).

Në këtë rast, ρ (x, y, z) është rrezja vektori i pikës Q tonë, të vendosura në n p - n është gjatësia e pingul, i cili është nga pika zero, v - është vektor njësi, e cila është e rregulluar në drejtimin a.

Ndryshimi ρ-ρº radius vektori i një pikë Q = (x, y, Z), që i përkasin n dhe rrezja vektori i një pikë të dhënë Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) është një vektor i tillë, vlera absolute e projeksionin e cila në v është e barabartë me distancën D, e cila është e nevojshme për të gjetur nga Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) te P:

D = | (ρ ^ρ-0, v) |, por

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Pra, ajo rezulton,

d = | (ρ ^0, v) p. |

Tani është e qartë se për të llogaritur distancën d nga ₀ në Q aeroplan P, është e nevojshme për të përdorur normale ekuacion view aeroplan, kalimi në të majtë të p, dhe vendin e fundit të x, y, z zëvendësim (hₒ, uₒ, zₒ).

Kështu, ne gjejmë vlerën absolute të shprehjes rezulton që është e nevojshme d.

Duke përdorur parametrat e gjuhës, ne kemi marrë të dukshme:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (å ² + V² + s²).

Nëse pika specifikuar Q ₀ është në anën tjetër të P avionit si origjine, atëherë midis vektorit ρ-ρ ⁰ dhe v është një kënd i gjerë, në këtë mënyrë:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

Ne rastin kur pika Q ₀ në lidhje me origjine të vendosura në të njëjtin krah të U, këndi akute është krijuar, që është:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

Rezultati është se në rastin e parë (ρ ^0, v)> p, në rastin e dytë (ρ ^0, v)

Dhe e saj ekuacion aeroplan tangjent

Lidhur me aeroplan në sipërfaqe në pikën e tangency Mº - një aeroplan që përmban të gjitha tangjent mundshme për kurbë të vizatuara nga ajo pikë në sipërfaqe.

Me këtë formë sipërfaqësore të ekuacionit f (x, y, z) = 0, në ekuacionin e pikës tangente avioni tangjent Mº (hº, uº, zº) do të jetë:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Nëse sipërfaqja është e vendosur në mënyrë të qartë Z = f (x, y), atëherë avioni tangjent përshkruhet nga ekuacioni:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

Kryqëzimin e dy avionëve

Në hapësirë tre-dimensionale është një sistem koordinativ (drejtkëndëshe) Oxyz, duke pasur parasysh dy aeroplanë P 'dhe P' që mbivendosen dhe nuk përkojnë. Që kur çdo avioni, e cila është në një sistemit koordinativ drejtkëndor të përcaktuar sipas ekuacionit të përgjithshme, ne marrin që n 'dhe n "janë përcaktuar nga ekuacionet A'x + V'u S'z + + D' = 0 dhe A" + B x '+ y me "z + D" = 0. Në këtë rast kemi n normale '(A', B ', C') e P avioni 'dhe n normale "(A", "B, C") e avionit P'. Si avioni tona nuk janë paralele dhe nuk përputhet, atëherë këto vektorët nuk janë collinear. Duke përdorur gjuhën e matematikës, ne kemi këtë gjendje mund të shkruhet si: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * dhe të", λ * në ", λ * C"), λεR. Le të vijë e drejtë e cila shtrihet në kryqëzimin P 'dhe P ", do të shënohet me shkronjën një, në këtë rast një = P' ∩ P".

dhe - një vijë e perbere nga nje mori pikat (zakonshme) planes P ', dhe P'. Kjo do të thotë se koordinatat e çdo moment i përkasin linjës A, në të njëjtën kohë duhet të plotësojnë ekuacion A'x + V'u S'z e + + D '= 0 dhe një "x + B' + C y" z + D "= 0. Kjo do të thotë se koordinatat e pikës do të jetë një zgjidhje të veçantë nga ekuacionet e mëposhtme:

Rezultati është se zgjidhja (i përgjithshëm) i këtij sistemi të ekuacioneve do të përcaktojë koordinatat e çdo pike në vijën e cila do të veprojë si pika e kryqëzimin P 'dhe P ", dhe të përcaktojë një vijë në një sistem koordinativ Oxyz hapësirë (drejtkëndëshe).