Sundimi Cramer dhe zbatimi i saj

Rregulli Cramer - është një nga metodat e saktë për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare algjebrike (Slough). saktësinë e saj për shkak të përdorimit të përcaktuesit e matricës së sistemit, si dhe disa nga kufizimet e vëna në provë të teorema.

Një sistem i ekuacioneve lineare algjebrike me koeficientët përkasin, për shembull, një shumicë e R - numrave reale të panjohura x1, x2, ..., xn është një koleksion i shprehjeve

ai2 X1 + ai2 X2 + ... ik xn = bi me i = 1, 2, ..., m, (1)

ku AIJ, bi - numrave reale. Secila nga këto shprehje është quajtur një ekuacion linear, AIJ - koeficientët e panjohura, bi - koeficientët pavarura të ekuacioneve.

solucion i (1) të përmendur n-dimensionale vektor x ° = (X1 °, X2 °, ..., xn °), në të cilën zëvendësimi në sistem per panjohura me X1, X2, ..., xn, secila nga linjat e sistemit bëhet ekuacionin mirë .

Sistemi quhet konsistent në qoftë se ka të paktën një zgjidhje, dhe në kundërshtim, në qoftë se ajo përkon me grup zgjidhjen e vendosur bosh.

Ajo duhet të mbahet mend se në mënyrë që të gjeni zgjidhje për sistemet e ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Cramer, sistemet matricë duhet të jetë katror, e cila në thelb do të thotë numër të njëjtë të panjohura dhe ekuacioneve në sistemin.

Pra, për të përdorur metodën Cramer-së, ju duhet të paktën e di se çfarë Matrix është një sistem i ekuacioneve lineare algjebrike, dhe ajo është lëshuar. Dhe së dyti, për të kuptuar atë që quhet përcaktues e matricës dhe aftësitë e veta të llogaritjes.

Le të supozojmë se kjo njohuri ju posedojnë. Wonderful! Pastaj ju duhet të vetëm të mësuar përmendësh formulat që përcaktojnë metodën Kramer. Për të lehtësuar mësimin përmendësh të përdorur simbol në vijim:

• Det - përcaktues kryesore e matricës të sistemit;

• deti - është përcaktues të matricës të përftuar nga matrica primar të sistemit nga zëvendësuar kolonë i--të matricës me një vektor kolonë elementë të cilit janë anët e duhur e ekuacioneve lineare algjebrike;

• n - numri i panjohura dhe ekuacione në sistem.

Pastaj Cramer sundimin llogaritje i-th komponent XI (i = 1, .. n) n-dimensionale vektoriale x mund të shkruhet si

xi = deti / Det, (2).

Në këtë rast, Det rreptësisht të ndryshme nga zero.

Unike e zgjidhjes së sistemit kur parashikohet bashkërisht nga gjendja pabarazisë së përcaktuesi kryesor i sistemit në zero. Përndryshe, në qoftë se shuma e (xi), katror, rreptësisht pozitiv, atëherë SLAE një matricë katrore është infeasible. Kjo mund të ndodhë në mënyrë të veçantë, kur të paktën një nga Nonzero deti.

Shembulli 1. Për të zgjidhur tre-dimensionale sistemit Lau duke përdorur formulën Cramer-së.
2 X1 + X2 + X3 = 31 4,
5 X1 + X2 + X3 = 2 29,
3 X1 - X2 + X3 = 10.

Vendimi. Ne shkruani matricën e linjës sistemit duke linjës, ku Ai - është i-th rresht të matricës.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Kolonë koeficientët pa b = (31 29 10).

Sistemi kryesor është përcaktues Det
Det = A11 A22 A33 + A12 A23 A31 + A31 a21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 a21 A12 = përfundimet 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = të -27.

Për të llogaritur ndryshim det1 përdorur A11 = b1, a21 = b2, A31 = B3. atëherë
det1 = b1 A22 A33 A12 A23 + b3 + A31 B2 A32 - A13 A22 B3 - B1 A32 A23 - A33 A12 b2 = ... = -81.

Në mënyrë të ngjashme, të llogaritur det2 përdorim zëvendësim A12 = b1, A22 = b2, A32 = b3, dhe, përkatësisht, të llogaritur det3 - A13 = b1, A23 = b2, A33 = B3.
Pastaj ju mund të kontrolloni se det2 = -108, dhe det3 = - 135.
Sipas formulës Cramer gjeni x1 = -81 / (- 27) = 3, X2 = -108 / (- 27) = 4, X3 = -135 / (- 27) = 5.

Përgjigje: x ° = (3,4,5).

Duke u bazuar në zbatueshmërinë e këtij rregulli, metoda e Kramer e sistemeve të ekuacioneve lineare zgjidhjen mund të përdoret në mënyrë të tërthortë, për shembull, për të hetuar sistemin mbi numrin e mundshëm të zgjidhjeve në varësi të vlerës së një k parametër.

Shembull 2. Për të përcaktuar se çfarë vlera e parametrit k pabarazisë | kx - y - 4 | + | x + KY + 4 | <= 0 ka pikërisht një zgjidhje.

Vendimi.
Kjo pabarazi, nga përkufizimi i funksionit modul mund të kryhet vetëm në qoftë se të dy shprehjet janë zero njëkohësisht. Prandaj, ky problem është reduktuar për të gjetur zgjidhjen e ekuacioneve lineare algjebrike

kx - y = 4,
x + OH = -4.

Zgjidhja për këtë sistem vetëm nëse ajo është përcaktuesi kryesor i
Det = k ^ {2} + 1 eshte nonzero. Është e qartë se ky kusht është i kënaqur për të gjitha vlerat reale të parametri k.

Përgjigje: për të gjitha vlerat reale të parametri k.

Objektivat e këtij lloji mund të reduktohet shumë probleme praktike në fushën e matematikës, fizikës apo kimisë.