Problemet zgjidhen duke përdorur ekuacionin. Zgjidhja e problemeve në matematikë

Në rrjedhën e matematikës shkollore ka gjithmonë probleme. Disa janë zbutur në disa akte, të tjerë kërkojnë një mister.

Problemet e zgjidhura me ndihmën e ekuacionit janë vetëm në shikim të parë të vështira. Nëse praktikoni, atëherë ky proces do të arrijë automatizmin.

Forma gjeometrike

Për të kuptuar pyetjen, ju duhet të kuptoni thelbin. Lexoni me kujdes gjendjen, është më mirë ta rilexoni disa herë. Problemet për ekuacionet janë vetëm në shikim të parë të vështira. Le të shqyrtojmë një shembull për fillimin më të thjeshtë.

Duke pasur parasysh një drejtkëndësh, ju duhet të gjeni zonën e saj. Duke pasur parasysh: gjerësia është 48% më e vogël se gjatësia, perimetri i drejtkëndëshit është 7.6 centimetra.

Zgjidhja e problemeve në matematikë kërkon lexim të kujdesshëm, logjikë. Le ta trajtojmë së bashku. Çfarë duhet të marrësh parasysh në radhë të parë? Tregoni gjatësinë e x. Prandaj, në ekuacionin tonë, gjerësia është 0.52x. Jemi dhënë një perimetër - 7.6 centimetra. Le të gjejmë një perimetër gjysmë, për këtë 7.6 centimetra ndahen me 2, është e barabartë me 3.8 centimetra. Ne kemi marrë një ekuacion me ndihmën e së cilës gjejmë gjatësinë dhe gjerësinë:

0.52x + x = 3.8.

Kur marrim x (gjatësi), nuk do të jetë e vështirë të gjesh 0.52x (gjerësi). Nëse i njohim këto dy sasi, atëherë gjejmë përgjigjen për pyetjen kryesore.

Problemet e zgjidhura me ndihmën e ekuacionit nuk janë aq komplekse sa duket, mund ta kuptojmë këtë nga shembulli i parë. Ne gjetëm gjatësinë x = 2.5 centimetra, gjerësia (ne do të përcaktojmë y) 0.52x = 1.3 centimetra. Kalojmë në shesh. Ajo është gjetur nga formula e thjeshtë S = x * y (për drejtkëndëshat). Në problemin tonë, S = 3.25. Kjo do të jetë përgjigja.

Le të shqyrtojmë disa shembuj të zgjidhjes së problemeve me gjetjen e një zone. Dhe këtë herë kemi një drejtkëndësh. Zgjidhja e problemeve në matematikë në gjetjen e perimetrit, zona e figurave të ndryshme është mjaft shpesh. Ne lexojmë gjendjen e problemit: jepet një drejtkëndësh, gjatësia e saj është 3.6 centimetra më e madhe se gjerësia, që është 1/7 e perimetrit të figurës. Gjeni zonën e këtij drejtkëndëshi.

Do të jetë e përshtatshme për të treguar gjerësinë e ndryshores x, dhe gjatësinë e ( x + 3.6) centimetrit. Le të gjejmë perimetrin:

P = 2x + 3.6 .

Ne nuk mund ta zgjidhim ekuacionin, pasi ne kemi dy variabla në të. Prandaj ne shikojmë përsëri në gjendjen. Ajo thotë se gjerësia është 1/7 e perimetrit. Ne marrim ekuacionin:

1/7 (2x + 3.6) = x .

Për lehtësinë e zgjidhjes, shumohen çdo pjesë e ekuacionit me 7, kështu që ne të heqim qafe fraksioni:

2x + 3,6 = 7x.

Pas zgjidhjes, marrim x (width) = 0.72 centimetra. Duke ditur gjerësinë, gjejmë gjatësinë:

0.72 + 3.6 = 4.32 cm.

Tani e dimë gjatësinë dhe gjerësinë, përgjigjuni pyetjes kryesore për atë që është e barabartë me zonën e drejtkëndëshit.

S = x * y , S = 3.1104 cm.

Tubat me qumësht

Zgjidhja e problemeve me ndihmën e ekuacioneve shkakton shumë vështirësi për nxënësit, pavarësisht faktit që kjo temë fillon në klasën e katërt. Ka shumë shembuj, kemi shikuar gjetjen e zonës së shifrave, tani pak i hutuar nga gjeometria. Le të shikojmë në detyra të thjeshta me tabelimin, ato ndihmojnë vizualisht: kështu që të dhënat që ndihmojnë në zgjidhjen janë më të dukshme.

Ftojini fëmijët të lexojnë gjendjen e problemit dhe krijojnë një tabelë për t'ju ndihmuar të kompozoni ekuacionin. Këtu është gjendja: ka dy kanaçe, në tre herë më shumë qumësht se sa në të dytën. Nëse i pari derdh pesë litra në të dytën, qumështi do të ndahet në mënyrë të barabartë. Pyetje: Sa qumësht ka qenë në secilën prej tyre?

Për të ndihmuar me zgjidhjen, duhet të krijoni një tabelë. Çfarë duhet të duket?

Zgjidhja

	Ishte	ai u bë
1 mund	3	3 - 5
2 kanaçe	x	X + 5

Si do të ndihmojë kjo në formulimin e ekuacionit? Ne e dimë se si rezultat i qumështit është bërë i barabartë, kështu që ekuacioni do të duket kështu:

3x-5 = x + 5;

2x = 10;

X = 5.

Ne kemi gjetur sasinë fillestare të qumështit në kutinë e dytë, që do të thotë se në të parën ka qenë: 5 * 3 = 15 litra qumësht.

Tani një shpjegim të vogël në përpilimin e tabelës.

Pse e caktuam çanin e parë për 3x: në kushtet kur thuhet se topi i dytë i qumështit është tre herë më pak. Pastaj lexojmë se 5 litra u drenazhuan nga kutia e parë, prandaj u bënë 3x-5 , dhe në të dytën derdheshin: x + 5 . Pse i dalluam këto kushte? Në gjendjen e detyrës thuhet se qumështi është bërë i barabartë.

Pra, ne kemi marrë përgjigjen: top i parë është 15 litra, e dytë - 5 litra qumësht.

Përcaktimi i thellësisë

Nga gjendja e problemit: thellësia e pusit të parë është 3.4 metra më i madh se i dyti. Pusha e parë u rrit me 21.6 metra, dhe e dyta - tri herë, pas këtyre veprimeve puset kanë të njëjtën thellësi. Është e nevojshme për të llogaritur se çfarë thellësie çdo pus kishte fillimisht.

Metodat për zgjidhjen e problemeve janë të shumta, mund të bëhen veprime, të krijohen ekuacione ose sistemi i tyre, por opsioni i dytë është më i përshtatshmi. Për të shkuar në zgjidhje, ne krijojmë një tabelë, sikurse në shembullin e mëparshëm.

Zgjidhja

	Ishte	ai u bë
1 pus	X + 3.4	X + 3.4 + 21.6
2 puse	x	3

Ne tani kthehemi në formulimin e ekuacionit. Meqenëse puset janë me të njëjtën thellësi, ajo ka formën e mëposhtme:

X + 3.4 + 21.6 = 3x;

X = 3x = -25;

-2x = -25;

X = -25 / -2;

X = 12.5

Gjetëm thellësinë origjinale të pusit të dytë, tani mund të gjejmë të parën:

12.5 + 3.4 = 15.9 m.

Pas veprimeve të bëra, shkruajmë përgjigjen: 15.9 m, 12.5 m.

Dy vëllezër

Vini re se kjo detyrë ndryshon nga të gjitha ato të mëparshmet, sepse me kusht fillimisht ka pasur të njëjtin numër të objekteve. Duke u nisur nga kjo, tabela ndihmëse përpilohet në mënyrë të kundërt, domethënë nga "ajo u bë" në "ishte".

Gjendja: Dy vëllezërve u është dhënë një numër i barabartë arre, por plaku i dha vëllait të tij 10, pasi që arra e të rinjve u bënë pesë herë më të mëdha. Sa arra janë ka për çdo djalë?

Zgjidhja

	Ishte	ai u bë
i lartë	Х + 10	x
ri	5x - 10	5x

Ne formojmë ekuacionin:

X + 10 = 5x - 10;

-4x = -20;

Х = 5 - u bëra arra në vëllain më të madh;

5 * 5 = 25 - vëllai më i ri.

Tani mund të shkruani përgjigjen: 5 arra; 25 arra.

blerje

Shkolla duhet të blejë libra dhe fletore, e para më e shtrenjtë se e dyta me 4.8 rubla. Ju duhet të llogarisni se sa një kopje rezervë dhe një libër kushtojnë, nëse keni blerë të njëjtën sasi parash me pesë libra dhe njëzet e një fletore.

Para se të vazhdoni me një zgjidhje, ia vlen t'iu përgjigjeni pyetjeve të mëposhtme:

• Cili është problemi në problem?
• Sa paguan ata?
• Çfarë bleu?
• Cilat vlera mund të leveled?
• Çfarë duhet të dini?
• Cila është vlera e x ?

Nëse i keni përgjigjur të gjitha pyetjeve, atëherë ne i drejtohemi zgjidhjes. Në këtë shembull, vlera e x mund të merret si çmimi i një fletore, dhe kostoja e librit. Le të shqyrtojmë dy variante të mundshme:

1. X është kostoja e një fletore, pastaj x + 4.8 është çmimi i librit. Duke filluar nga kjo, ne marrim ekuacionin: 21x = S (x + 4.8).
2. X është kostoja e librit, atëherë x është 4.8 është çmimi i fletores. Ekuacioni ka formën: 21 (x - 4.8) = 5x.

Ju mund të zgjidhni një mundësi më të përshtatshme për veten tuaj, pastaj zgjidhni dy ekuacione dhe krahasoni përgjigjet, ato duhet të përputhen në tërësi.

Mënyra e parë

Zgjidhja e ekuacionit të parë:

21x = 5 (x + 4.8);

4,2 х = х + 4,8;

4,2 х - х = 4,8;

3,2 h = 4,8;

Х = 1,5 (rubla) - kostoja e një fletore;

4.8 + 1.5 = 6.3 (rubla) - kostoja e një libri.

Një tjetër mënyrë për të zgjidhur këtë ekuacion (hapja e kllapave):

21x = 5 (x + 4.8);

21x = 5x + 24;

16x = 24;

Х = 1,5 (rubla) - kostoja e një fletore ;

1,5 + 4,8 = 6,3 (rubla) - kostoja e një libri.

Mënyra e dytë

5x = 21 (x = 4.8);

5x = 21x - 100,8;

16x = 100.8;

Х = 6,3 (rubla) - kostoja e një libri;

6.3 - 4.8 = 1.5 (rubla) - kostoja e një fletore.

Siç mund të shihet nga shembujt, përgjigjet janë identike, pra, problemi zgjidhet në mënyrë korrekte. Shikoni për korrektësinë e zgjidhjes, në shembullin tonë, përgjigjet nuk duhet të jenë negative.

Ka probleme të tjera që mund të zgjidhen me ndihmën e një ekuacioni, për shembull, në lëvizje. Le t'i shqyrtojmë ato në mënyrë më të detajuar në shembujt e mëposhtëm.

Dy makina

Në këtë seksion do të diskutojmë detyrat e lëvizjes. Për të qenë në gjendje t'i zgjidhni ato, duhet të dini rregullin e mëposhtëm:

S = V * T,

S është distanca, V është shpejtësia dhe T është koha.

Le të përpiqemi të marrim një shembull.

Dy automjete u larguan në të njëjtën kohë nga pika A në pikën B. Së pari udhëtoi të gjithë distancën me të njëjtën shpejtësi, gjysma e dytë e dytë e rrugës po udhëtonte me shpejtësi 24 km / h dhe e dyta - 16 km / h. Është e nevojshme të përcaktohet shpejtësia e motoristit të parë, nëse në pikën B ata kanë ardhur njëkohësisht.

Çfarë duhet të hartojmë ekuacionin: variabla kryesore V ₁ (shpejtësia e makinës së parë), e mesme: S - shtegu, T ₁ - koha në shtegun e makinës së parë. Ekuacioni: S = V ₁ * T _{1 .}

Tjetra: makina e dytë në gjysmën e parë të rrugës (S / 2) kope me një shpejtësi V2 = 24 km / h. Ne marrim shprehjen: S / 2 = 24 * T _{2 .}

Pjesa tjetër e mënyrës së udhëtimit me shpejtësi V ₃ = 16 km / h. Ne marrim S / 2 = 16 * T ₃ .

Më tej nga gjendja është e qartë se makinat arritën në të njëjtën kohë, prandaj T ₁ = T ₂ + T ₃ . Tani ne duhet të shprehim variablat T ₁ , T ₂ , T ₃ nga kushtet tona të mëparshme. Ne marrim ekuacionin: S / V ₁ = (S / 48) + (S / 32).

S është marrë si unitet dhe ne e zgjidhim ekuacionin:

1 / V ₁ = 1/48 + 1/32;

1 / V ₁ = (2/96) + (3/96);

1 / V ₁ = 5/96;

V1 = 96/5;

V ₁ = 19,2 km / h.

Kjo është përgjigja. Problemet e zgjidhura duke përdorur ekuacionin janë komplekse vetëm në shikim të parë. Përveç sa më sipër, mund të përmbushni detyrat e punës, çfarë është, e konsideroni në seksionin tjetër.

Sfida e punës

Për të zgjidhur këtë lloj detyre, duhet të dini formulën:

A = VT ,

Ku A është puna, V është produktiviteti.

Për një përshkrim më të detajuar, duhet të jepni një shembull. Tema "Zgjidhja e problemeve me një ekuacion" (Klasa 6) nuk mund të përmbajë probleme të tilla, pasi kjo është një nivel më kompleks, por megjithatë japim një shembull për njohjen.

Lexoni me kujdes gjendjen: dy punëtorë punojnë së bashku dhe planifikojnë të kryejnë për dymbëdhjetë ditë. Është e nevojshme të përcaktohet se sa kohë do të marrë punonjësi i parë për të përmbushur të njëjtën normë vetë. Dihet se ai kryen sasinë e punës për dy ditë si punonjës i dytë në tri ditë.

Zgjidhja e problemeve për formulimin e ekuacioneve kërkon një lexim të kujdesshëm të gjendjes. Gjëja e parë që ne kuptuam nga detyra, se puna nuk është përcaktuar, do të thotë, e marrim si një njësi, që është, A = 1 . Nëse problemi i referohet një numri të caktuar të pjesëve ose litrave, atëherë puna duhet të merret nga këto të dhëna.

Ne tregojmë produktivitetin e punëtorëve të parë dhe të dytë, nëpërmjet V1 dhe V2, në këtë fazë, ekuacioni i mëposhtëm është i mundur:

1 = 12 (V ₁ + V ₂ ) .

Çfarë na tregon kjo ekuacion? Që të gjitha punët bëhen nga dy njerëz në dymbëdhjetë orë.

Më tej mund të themi: 2V ₁ = 3V ₂ . Sepse i pari për dy ditë bën sa më shumë të dytin në tre. Ne kemi marrë një sistem të ekuacioneve:

1 = 12 (V1 + V2);

2V ₁ = 3V _2.

Në bazë të zgjidhjes së sistemit, ne kemi marrë një ekuacion me një ndryshore:

1 - 8V ₁ = 12V _1;

V ₁ = 1/20 = 0.05.

Kjo është produktiviteti i punës së punëtorit të parë. Tani mund të gjejmë kohën për të cilën personi i parë do të përballet me të gjithë punën:

A = V ₁ * T _1;

1 = 0.05 * T ₁ ;

T ₁ = 20.

Meqenëse dita është marrë si njësi e kohës, përgjigja është: 20 ditë.

Riformulimi i problemit

Nëse e keni zotëruar aftësitë për të zgjidhur problemet e trafikut dhe keni disa vështirësi me detyrat për punë, atëherë është e mundur që të merrni trafikun nga puna. Në çfarë mënyre? Nëse marrim shembullin e fundit, gjendja është si vijon: Oleg dhe Dima lëvizin drejt njëri-tjetrit, takohen në 12 orë. Për sa do të kapërcejnë rrugën në mënyrë të pavarur Oleg, nëse dihet se në dy orë ai udhëton në rrugën e barabartë me rrugën e Dima-s në tre orë.