Shenja e parë e barazisë së trekëndëshat. Shenjat e dyta dhe të treta të barazisë së trekëndëshat

Midis numrit të madh të poligoneve, të cilat në fakt janë një vijë e thyer e mbyllur jo-intersektuese, trekëndëshi është figura me numrin më të vogël të këndeve. Me fjalë të tjera, ky është poligoni më i thjeshtë. Por, pavarësisht nga thjeshtësia e saj, kjo shifër përmban shumë mistere dhe zbulime interesante, të cilat mbulohen nga një seksion i veçantë i gjeometrisë matematike. Kjo disiplinë mësohet në shkolla që nga klasa e shtatë, dhe tema "Triangle" i kushtohet vëmendje e veçantë këtu. Fëmijët jo vetëm që mësojnë rregullat për vetë figurën, por edhe krahasojnë ato, duke studiuar 1, 2 dhe 3 shenja të barazisë së trekëndëshat.

Njohja e parë

Një nga rregullat e para me të cilat janë njohur studentët, tingëllon si kjo: shuma e madhësive të të gjitha këndeve të trekëndëshit është 180 gradë. Për të konfirmuar këtë, mjafton të matni secilën kulm me ndihmën e një matës dhe të shtoni të gjitha vlerat që rezultojnë. Duke u nisur nga kjo, për dy sasi të njohura është e lehtë të përcaktohet e treta. Për shembull : Në një trekëndësh, një nga këndet është 70 °, dhe tjetra - 85 °, cila është vlera e këndit të tretë?

180 - 85 - 70 = 25.

Përgjigje: 25 °.

Problemet mund të jenë më të komplikuara në qoftë se specifikohet vetëm një vlerë e këndit dhe vlera e dytë thotë vetëm sa ose sa herë është më e madhe ose më pak.

Në trekëndësh, për të përcaktuar ndonjë nga karakteristikat e tij, mund të nxirren linja speciale, secila prej të cilave ka emrin e vet:

• Lartësia - një vijë pingule e tërhequr nga maja në anën e kundërt;
• Të tre lartësitë që mbahen njëkohësisht në qendër të figurës ndërpriten, duke formuar një orthocenter, i cili, në varësi të llojit të trekëndëshit, mund të jetë brenda dhe jashtë;
• Mediana - vija që lidh vertexin me mes të anës së kundërt;
• Kryqëzimi i medianëve është pika e gravitetit, është brenda figurës;
• Bisektrix është një linjë që kalon nga kulmi deri në pikën e kryqëzimit me anën e kundërt, pika e kryqëzimit e tre bisectors është qendra e rrethit të gdhendur.

Të vërteta të thjeshta për trekëndëshat

Triangles, si, në të vërtetë, të gjitha shifrat, kanë karakteristikat e tyre dhe pronat. Siç është përmendur tashmë, kjo shifër është poligoni më i thjeshtë, por me tiparet e tij karakteristike:

• Kundër anës më të gjatë ka gjithmonë një kënd me një vlerë më të madhe dhe anasjelltas;
• Kënde të barabarta qëndrojnë në anët e barabarta, një trekëndësh isosceles është një shembull;
• Shuma e këndeve të brendshme është gjithmonë 180 °, e cila tashmë është demonstruar nga shembulli;
• Kur njëra anë e trekëndëshit shtrihet përtej kufijve të saj, formohet një kënd i jashtëm, i cili gjithmonë do të jetë i barabartë me shumën e këndeve që nuk janë ngjitur me të;
• Secila prej palëve është gjithmonë më pak se shuma e dy partive të tjera, por më shumë se ndryshimi i tyre.

Llojet e trekëndëshat

Faza e ardhshme e njohjes është të përcaktojë grupin në të cilin përfaqëson trekëndëshi i përfaqësuar. Përkatësia në një formë ose në një tjetër varet nga këndet e trekëndëshit.

• E barabartë - me dy anët e barabarta, të cilat quhen lateral, i treti në këtë rast vepron si bazë e figurës. Këndet në bazën e një trekëndësh të tillë janë të njëjta dhe mesatarja e tërhequr nga maja është bisectrix dhe lartësia.
• Një trekëndësh i rregullt ose baraspeshës është ai me të gjitha anët e tij të barabarta.
• Drejtkëndësh: një nga këndet e saj është 90 °. Në këtë rast, pala përballë këtij këndi quhet hipoteniza, dhe dy të tjerat quhen këmbët.
• Trekëndëshi i ashpër - të gjitha këndet janë më pak se 90 °.
• Obtuse-angulated - një nga këndet është më i madh se 90 °.

Barazia dhe ngjashmëria e trekëndëshat

Në procesin e të mësuarit, jo vetëm që e konsiderojnë një figurë të vetme, por krahasoni dy trekëndëshat. Dhe kjo temë në dukje e thjeshtë ka shumë rregulla dhe teorema mbi të cilat mund të provohet se shifrat në shqyrtim janë trikëndësha të barabarta. Shenjat e barazisë së trekëndësha kanë përkufizimin e mëposhtëm: trekëndëshat janë të barabarta nëse anët dhe këndet e tyre përkatëse janë të njëjta. Me këtë barazi, nëse i mbivendosni këto dy shifra me njëri-tjetrin, të gjitha linjat e tyre do të konvergojnë. Gjithashtu, shifrat mund të jenë të ngjashme, në veçanti, ajo ka të bëjë me shifra gati identike, të ndryshme vetëm në madhësi. Për të bërë një përfundim të tillë për trekëndëshat e përfaqësuara, duhet të respektohet një nga kushtet e mëposhtme:

• Dy qoshet e një figure janë të barabarta me dy kënde të tjetrës;
• Dy anët e një janë proporcionale me të dy anët e trekëndëshit të dytë dhe këndet e formuara nga palët janë të barabarta;
• Tre anët e figurës së dytë janë të njëjta me të parat.

Natyrisht, për barazinë e padiskutueshme, e cila nuk do të shkaktonte dyshim më të vogël, është e nevojshme të ketë të njëjtat vlera për të gjitha elementet e të dy shifrave, por duke përdorur teorema problemi është thjeshtuar shumë dhe vetëm disa kushte lejohen të vërtetojnë barazinë e trekëndësave.

Shenja e parë e barazisë së trekëndëshat

Problemet në këtë temë zgjidhen në bazë të provës së teoremës, e cila thotë: "Nëse dy anët e trekëndëshit dhe këndi që formojnë janë të barabarta me dy anët dhe cepin e trekëndëshit tjetër, atëherë shifrat janë gjithashtu të barabartë".

Si duket testi i provës së teoremës për shenjën e parë të barazisë së trekëndëshat? Gjithkush e di se dy segmentet janë të barabartë në qoftë se ato janë të gjatësive të njëjta ose qarqet janë të barabarta nëse kanë të njëjtin rreze. Dhe në rastin e trekëndësave, ka disa shenja, të cilat mund të supozohet se shifrat janë identike, gjë që është shumë e përshtatshme për zgjidhjen e problemeve të ndryshme gjeometrike.

Si duket testi i teoremës "Shenja e parë e barazisë së trekëndëshave", por prova e saj:

• Supozoni se trekëndëshat ABC dhe A ₁ B ₁ C ₁ kanë të njëjtat anët AB dhe A ₁ B ₁ dhe përkatësisht BC dhe B ₁ C ₁ dhe këndet që formohen nga këto anë kanë të njëjtën vlerë, domethënë ato janë të barabarta. Pastaj, duke aplikuar △ ABC në △ A ₁ B ₁ C _1, marrim koincidencën e të gjitha vijave dhe vertices. Prandaj rrjedh se këto trekëndësha janë absolutisht identikë dhe prandaj janë të barabartë me njëri-tjetrin.

Teorema "Shenja e parë e barazisë së trekëndëshat" quhet gjithashtu "Në dy anët dhe në një qoshe". Në fakt, kjo është thelbi i saj.

Teorema e dytë e karakterizimit

Shenja e dytë e barazisë vërtetohet në mënyrë të ngjashme, prova bazohet në faktin se kur shifrat mbivendosen me njëri-tjetrin ato përputhen plotësisht në të gjitha vertikat dhe anët. Dhe teorema tingëllon si kjo: "Nëse njëra anë dhe dy kënde në formimin e të cilës merr pjesë korrespondojnë me anën dhe dy këndet e trekëndëshit të dytë, atëherë këto shifra janë identike, që është, e barabartë".

Shenja dhe dëshmi e tretë

Nëse të dyja 2 dhe 1 të barazisë së trekëndëshave preku dy anët dhe qoshet e figurës, atëherë e treta i referohet vetëm palëve. Pra, teorema ka formulimin e mëposhtëm: "Nëse të gjitha anët e një trekëndëshi janë të barabarta me tre anët e trekëndëshit të dytë, atëherë shifrat janë identike".

Për të vërtetuar këtë teoremë, ne duhet të bëhemi më hollësisht në vetë përkufizimin e barazisë. Në fakt, çfarë do të thotë shprehja "trekëndëshat e barabarta"? Identiteti do të thotë që nëse mbivendosni një figurë në një tjetër, të gjitha elementet e tyre do të përkojnë, mund të jetë vetëm nëse anët dhe këndet e tyre janë të barabarta. Në të njëjtën kohë, këndi i kundërt me një nga anët, i cili është i njëjtë me atë të trekëndëshit tjetër, do të jetë i barabartë me kulmin përkatës të figurës së dytë. Duhet të theksohet se në këtë pikë prova mund të përkthehet lehtë në 1 shenjë të barazisë së trekëndëshat. Nëse një sekuencë e tillë nuk respektohet, barazia e trekëndësave është thjesht e pamundur, përveç kur figura është një pasqyrë e pasqyrës e së parës.

Trekëndëshat drejtkëndëshe

Në strukturën e trekëndëshave të tillë, ka gjithmonë vertices me një kënd prej 90 °. Prandaj, pohimet e mëposhtme janë të vërteta:

• Trekëndëshat me kënd të drejtë janë të barabartë nëse këmbët e një janë identike me këmbët e sekondës;
• Shifrat janë të barabarta nëse hipoteniza e tyre dhe njëra nga këmbët janë të barabarta;
• Trekëndëshat e tillë janë të barabartë nëse këmbët dhe këndi i tyre akut janë identik.

Kjo atribut i referohet trekëndëshat drejtkëndëshe. Për të provuar teoremen zbatohen aplikimet e shifrave me njëri-tjetrin, si rezultat i të cilave trekëndëshat janë palosur nga këmbët në mënyrë që nga dy vija e drejtë ka një kënd të shpalosur me anët CA dhe CA1.

Zbatimi praktik

Në shumicën e rasteve, në praktikë, zbatohet shenja e parë e barazisë së trekëndësave. Në fakt, kjo temë në dukje e thjeshtë e klasës së 7-të në gjeometrinë dhe planimetri përdoret gjithashtu për të llogaritur gjatësinë, për shembull, të një kablloje telefonike pa matur terrenin mbi të cilin do të kalojë. Me ndihmën e këtij teoremi, është e lehtë për të bërë llogaritjet e nevojshme për të përcaktuar gjatësinë e ishullit në mes të lumit, pa kaluar atë. Ose përforconi gardhin duke e vendosur shufrën në hapësirën në mënyrë që ajo të ndahet në dy trekëndësha të barabarta ose të llogarisë elementet komplekse të punës së zdrukthtarisë ose kur llogarit sistemin e çatisë së çatisë gjatë ndërtimit.

Shenja e parë e barazisë së trekëndësha ka aplikim të gjerë në jetën reale "të rritur". Edhe pse në vitet e shkollës është kjo temë për shumë duket e mërzitshme dhe plotësisht e panevojshme.