Furierit transformuar. Transformimi i shpejtë Fourier. Furierit transformuar diskret

Furierit transformimi - transformimin, shoqëruar një funksion të caktuar të një variable reale. Ky operacion është kryer çdo herë që ne e perceptojnë tinguj të ndryshëm. Ear prodhon automatike "llogaritje", e cila përmbushur vetëdijen tonë mund vetëm pas ekzaminimit të seksionit të matematikës të lartë. dëgjimit organ në një transformim njerëzor ndërton, në të cilën zërit (motion konvencional vibrational e grimcave në një medium elastike, të cilat të përhapur në formën e valës ne mjedis solide, lëngët ose gaztë) është siguruar në një varg të vlerave njëpasnjëshme të nivelit të volumit të ton lartësi të ndryshme. Pas kësaj, truri kthen informatat në të gjitha tingujt e njohur.

Matematike Furierit transformuar

Konvertimi i valëve të shëndoshë ose proceseve të tjera të vibrimit (me emision të lehta dhe batica oqean dhe të cikleve yjor ose diellor) mund të kryhet dhe me anë të metodave matematikore. Kështu, duke përdorur këto teknika, funksionet mund të zgjerohet duke futur proceset vibrational grup i komponentëve sinusoidale, dmth kthesa onde të cilat shkojnë nga një minimum deri në maksimum dhe pastaj përsëri në minimum, si valë e detit. Fourier transformimi - funksion transformimi cila pershkruan fazën ose amplituda e secilit sinusoid korrespondon një frekuencë veçantë. Faza është një pikë fillimi i kurbës, dhe amplituda - i kulmin e saj.

Furierit transformuar (shembuj janë paraqitur në foto) është një mjet shumë i fuqishëm, i cili është përdorur në fusha të ndryshme të shkencës. Në disa raste, ajo është përdorur si një zgjidhje të ekuacioneve mjaft komplekse që përshkruajnë proceset dinamike që ndodhin nën ndikimin e dritës, nxehtësisë apo energjisë elektrike. Në raste të tjera, kjo ju mundëson për të përcaktuar komponentët rregullta në waveforms komplekse, për shkak të kësaj mund të jetë e vërtetë për të interpretuar vëzhgime të ndryshme eksperimentale në kimi, mjekësi dhe astronomi.

Informacioni historik

Personi i parë për të aplikuar këtë metodë ishte matematikani francez Zhan Batist Fure. Konvertimit, më pas emrin e tij, është përdorur fillimisht për të përshkruar mekanizmin përçueshmëri ngrohjes. Furierit tërë jetën e tij të rritur të angazhuar në studimin pronat e ngrohjes. Ai dha një kontribut të madh në teorinë matematikore të përcaktimin e rrënjët e ekuacioneve algjebrike. Furierit ishte një profesor i analizave në Ecole Polytechnique, sekretari i Institutit të egjiptologjisë, ishte shërbimi perandorak, i cili shkaktoi një tronditje në kohën e ndërtimit të rrugës për në Torino (nën udhëheqjen e tij u drenazhuar nga më shumë se 80 mijë kilometra katrorë të kënetave malarie). Megjithatë, e gjithë kjo aktivizmi nuk e ndaloi shkencëtar angazhuar në analizat matematikore. Në 1802 ajo ishte nxjerrë një ekuacion që përshkruan përhapjen e ngrohjes në solids. Në 1807, shkencëtar zbuloi një metodë për zgjidhjen e këtij ekuacioni, i cili u bë i njohur si "Furierit transformuar".

Analiza termike përçueshmëri

Hulumtuesit përdorur një metodë matematikore për të përshkruar mekanizmin përçueshmëri ngrohjes. Një shembull i përshtatshëm, ne te cilin nuk ka vështirësi në llogaritje është shumimin e energjisë termike nga një unazë të hekurit, një pjesë e zhytur ne nje zjarrit. Për të kryer eksperimente Furierit pjesë të kuqe të nxehtë të unazës dhe varrose në rërë fine. Pas kësaj, matjet e temperaturës kryer në pjesën e kundërt të tij. Fillimisht, shpërndarja ngrohjes është e parregullt: pjesë e unazës - të ftohtë, dhe të tjera - të nxehtë, mes zonave mund të vëzhgojnë një gradient të mprehtë e temperaturës. Megjithatë, gjatë shpërndarjes së ngrohjes nëpër sipërfaqe metalike, ajo bëhet më uniforme. Pra, së shpejti, ky proces merr formën e një valë sine. Grafiku i parë gradualisht rritet dhe gjithashtu ul pa probleme, saktë ligjet e variacionit të kosinus apo funksion sine. Vala barazoi gradualisht dhe si rezultat temperatura bëhet uniforme në të gjithë sipërfaqen e unazës.

Autori i kësaj metode supozohet se shpërndarja fillestare është mjaft e parregullt mund të zbërthehet në një numër të valëve elementare sine. Secili prej tyre do të ketë në fazën e tij (pozicioni fillestar) dhe temperaturën e saj maksimale. Kështu secili ndryshime të tilla përbërëse nga një minimum në një maksimum dhe të kthehet për të përfunduar revolucionin rreth kohës unazë integer. Komponenti pasur një periudhë e cila u quajtur harmonik themelore, dhe vlera me dy ose më shumë periudhave - të dytë dhe kështu me radhë. Për shembull, një funksion matematikore që përshkruan temperaturën maksimale, faza apo pozita quajtur transformimi Fourier e funksionit të shpërndarjes. Scientist solli një komponent të vetme që është e vështirë për të përshkrimit matematikore, për të lehtë për ta përdorur mjete - rreshtat e sinusit dhe kosinusit, në shumën e dhënies shpërndarjen fillestare.

Thelbi i analizës

Aplikimi i kësaj analize për konvertimin e shpërndarjes së ngrohjes në objektin ngurta, të paturit e një formë unazor, një matematikan arsyetuar se periudhat në rritje të komponentëve sinusoidale të çojë në fikje e saj të shpejtë. Kjo shihet qartë në harmoni kryesore dhe të dytë. Temperatura final arrin dy herë vlerat maksimale dhe minimale në një kalim të vetëm, dhe në pjesën e parë - vetëm një herë. Ajo rezulton se distanca udhëtuar nga nxehtësia në harmonik dytë është gjysma e atij të bërthamës. Përveç kësaj, gradienti i pjesës së dytë do të jetë steeper se i pari. Prandaj, që nga një fluksi më intensive termike kalon ve distancë minimale, atëherë kjo do të jetë damped harmonik katër herë më shpejt se kryesore, si një funksion të kohës. Në vijim të procesit do të jetë edhe më të shpejtë. Matematikan besonin se kjo metodë na lejon për të llogaritur procesin e shpërndarjes fillestare e temperaturës me kohë.

bashkëkohësit Call

Furierit transformuar algorithm është bërë një sfidë për themelet teorike të matematikës në atë kohë. Në fillim të shekullit të nëntëmbëdhjetë, shkencëtarët më të shquar, duke përfshirë Lagranzhit, Laplace, Poisson, Lazhandrian dhe Ligji Biot nuk ka pranuar pohimin e tij se temperatura e shpërndarjes fillestare është dekompozuar në komponentë në formë të valës themelore dhe frekuencë më të lartë. Megjithatë, Akademia e Shkencave nuk mund të injorojë rezultatet e fituara matematikan, dhe i dha atij Çmimin për teorinë e përcjelljeve ngrohjes të ligjeve, si dhe kryerjen e krahasimin e saj me eksperimente fizike. Në qasjen Furierit, kundërshtimi kryesor është fakti se një funksion i shkëputur është e përfaqësuar nga një shumë e disa funksioneve sinusoidale, të cilat janë të vazhdueshme. Pas të gjitha, ata e përshkruajnë duke shpërthyer drejt dhe lakuar linjat. Shkencëtari Bashkëkohore kurrë nuk kishte hasur në një situatë të tillë, kur funksionet jo në vazhdimësi të përshkruara nga një kombinim i vazhdueshëm, të tilla si katror, lineare, sine apo ekspozues. Në rast se një matematikan kishte të drejtë në pohimet e tij, shuma e një seri të pafund të funksioneve trigonometrike duhet të jetë i kufizuar në shpejtësinë e saktë. Ndërkohë që një pretendim i tillë dukej absurde. Megjithatë, pavarësisht nga dyshimet e disa studiuesve (p.sh. Claude Navier, Sofi Zhermen) zgjeruar fushën e hulumtimit dhe nxori nga analiza e shpërndarjes së ngrohjes. Një matematikë, ndërkohë, ka vazhduar të vuajë çështjen nëse një shumë e disa funksioneve sinusoidale është reduktuar në një përfaqësim të saktë të shpërthyer.

Historia 200-vjeçare

Kjo teori ka evoluar gjatë dy shekujve, sot ajo është formuar në fund. Me ndihmën e funksioneve hapësinore ose tokësore janë të thyer në komponente sinusoidale që kanë një frekuencë, fazë dhe amplitudë. Kjo konvertimit është marrë nga dy metoda të ndryshme matematikore. I pari prej tyre është përdorur në rastin kur burimi është një funksion i vazhdueshëm, dhe e dyta - në rastin kur ajo është e përfaqësuar nga një shumësinë e ndryshimeve diskrete individuale. Nëse shprehja është marrë nga vlerat, të cilat janë të përcaktuara në intervale diskrete, ajo mund të ndahet në frekuenca sinusoidale disa diskrete shprehje - nga më e ulta dhe pastaj dyfishuar, trefishuar, dhe kështu me radhë mbi themelore. Kjo shumë është quajtur seri Furierit. Nëse shprehja e parë përcakton vlerën e çdo numër real, mund të ndahen në sinusoidale të gjitha frekuencat e shumta të mundshme. Ajo është quajtur një Furierit integrale, dhe vendimi nënkupton një transformim të funksionit integrale. Pavarësisht nga metoda për marrjen transformim, për çdo frekuencë duhet të tregojnë dy numra: amplitudë dhe frekuencën. Këto vlera janë shprehur si një i vetëm numër kompleks. Shprehja variablave komplekse teori, së bashku me transformimin e Furierit për të kryer llogaritjet lejohet projektimin e qarqeve të ndryshme elektrike, analiza e vibracioneve mekanike, studimi i mekanizmit valë shumimin dhe një tjetër.

Furierit transformuar sot

Në ditët e sotme, studimi i këtij procesi në thelb boils poshtë për të gjetur metoda efektive për kalimin nga funksioni për të kthyer atë përsëri në mendje. Kjo zgjidhje quhet Furierit direkte dhe inverse transformuar. Çfarë do të thotë? Në mënyrë për të përcaktuar integrale dhe të bëjë një Furierit transformuar të drejtpërdrejtë, ju mund të përdorni metodat matematikore, por ju mund analitike. Pavarësisht nga fakti se kur ato janë përdorur në praktikë ka disa vështirësi, shumica e integrals tashmë janë gjetur dhe ka hyrë në doracakët matematikore. Me shprehje ndihmën e metodave numerike mund të llogariten, forma e cila është e bazuar në të dhënat eksperimentale, një funksion integrals në tabelat e të cilit janë të zhdukur, dhe ata janë të vështirë të imagjinohet në një formë analitike.

Para ardhjes së llogaritjeve inxhinierike kompjuterike transformime të tilla janë shumë të lodhshme, ata kërkojnë ekzekutimin manual të një numri të madh të operacioneve aritmetike që varet nga numri i pikave që përshkruajnë funksionin valë. Për të lehtësuar zgjidhjen sot, ka programe të veçanta, lejohet për të zbatuar të reja metodat analitike. Kështu, në vitin 1965, Dzheyms Kuli dhe Dzhon Tyuki krijuar software që u bë i njohur si "transformimi i shpejtë Fourier". Ajo kursen kohën e llogaritjes duke zvogëluar numrin e shumëzime në analizën e kurbë. "Transformimi i shpejtë Fourier" Metoda bazohet në ndarjen e kurbë në një numër të madh të vlerave uniforme mostrës. Prandaj, numri i shumëzimit është përgjysmuar në të njëjtën kohë reduktimin e numrit të pikave.

Aplikimi Furierit transformuar

Ky proces është përdorur në fusha të ndryshme: Në teorinë e numrave, fizikë, përpunimit të sinjalit, Kombinatorika, teoria e probabilitetit, cryptography, statistikat, oqeanografinë, optikë, akustikë, dhe geometries tjera. mundësi të pasur për përdorimin e saj janë të bazuara në një numër të karakteristikave të dobishme, të cilat janë quajtur "vetitë e transformimit Furierit." Le të shqyrtojmë ato.

1. funksion konvertimit është një operatori linear dhe një normalizim korresponduese është unitare. Kjo pronë është e njohur si teorema Parseval, ose në rastin e përgjithshëm, teorema Plansherelja ose Pontrjagin dualizëm: të.

2. konvertimit është i kthyeshëm. Për më tepër, rezultati kundërta është formë në thelb të ngjashme si në trajtimin e drejtpërdrejtë.

3. Shprehjet themelore sinusoidale janë funksionet e tyre të diferencuara. Kjo do të thotë se përfaqësimi i tillë ndryshon ekuacionet lineare me koeficientët konstante në një algjebrike konvencionale.

4. Sipas teorema "spirale", procesi i bën një operacion të ndërlikuar në shumëzimit fillore.

5. Diskrete Furierit transformuar mund të jetë projektuar shpejt në një kompjuter duke përdorur metodën "të shpejtë".

Variacionet e Furierit transformuar

1. Më shpesh ky term përdoret për t'iu referuar një transformim të vazhdueshëm, duke siguruar ndonjë shprehje quadratically integrueshëm si shuma e shprehjes komplekse eksponenciale me frekuenca specifike këndore dhe amplitudes. Kjo specie ka disa forma të ndryshme, të cilat mund të jenë të ndryshme koeficientët konstante. Metoda e vazhdueshme përfshin një tabelë konvertimit, të cilat mund të gjenden në doracakët matematikore. Një rast i përgjithësuar është shndërrimi i pjesshëm, ku ky proces mund të jetë ngritur në fuqinë e vërtetë e dëshiruar.

2. Metoda e vazhdueshme është një përgjithësim i teknikës më të hershëm të seri Furierit të përcaktuar për çdo funksioneve periodike apo shprehje, të cilat ekzistojnë në një zonë të kufizuar dhe përfaqësojnë ato si një seri e sinusoids.

3. Diskrete Furierit transformuar. Kjo metodë përdoret në informatikë për llogaritje shkencore dhe përpunimin digjital të sinjalit. Për të kryer këtë lloj të llogaritjes është e nevojshme që të ketë një funksion të përcaktuar në një sërë diskrete të pikave të veçanta, rajon periodike ose të kufizuar në vend të integrals Furierit vazhdueshme. Signal konvertimit në këtë rast është e përfaqësuar si shumë e sinusoids. Përdorimi i metodës "të shpejtë" lejon përdorimin e zgjidhjeve dixhitale për të gjitha qëllimet praktike.

4. Dritarja Furierit transformuar është një pamje e përgjithshme e metodës klasike. Ndryshe nga zgjidhjet standarte kur spektri sinjali është përdorur, e cila është marrë në gamën e plotë të ekzistencës së kësaj variable është me interes të veçantë këtu është vetëm shpërndarja lokale frekuenca duke ruajtur ndryshueshme origjinale (kohë).

5. dy-dimensionale Furierit transformuar. Kjo metodë është përdorur për të punuar me vargjeve dy-dimensionale të të dhënave. Në një rast të tillë, konvertimi kryhet në një drejtim, dhe pastaj - në tjetrin.

përfundim

Sot, metoda Furierit është ngulitur fort në fusha të ndryshme të shkencës. Për shembull, në vitin 1962 ajo hapi formën e ADN-së spirale të dyfishtë duke përdorur analizë Furierit në lidhje me X-ray shpërbërje. Kristal fundit përqendruar në fibrave ADN, duke rezultuar në një imazh i cili është marrë nga shpërbërje, të regjistruar në film. Kjo foto ka dhënë informacion në lidhje me vlerën e amplitudës duke përdorur Furierit transformuar në këtë strukturë kristal. të dhënat e marra nga faza krahasuar kartat shpërbërje ADN me kartat që janë marrë në analizën e strukturave të ngjashme kimike. Si rezultat, biologët restauruar strukturën kristal - funksionin origjinale.

Furierit transformuar të luajë një rol të madh në studimin e hapësirë e jashtme, fizikën e materialeve gjysmëpërçues dhe plazma, akustikë mikrovalë, oqeanografi, radar, sizmologjisë dhe ekzaminimet mjekësore.