Si për të llogaritur zonën e një piramide: baza, anën dhe të plotë?

Në përgatitje për provim në studentët e matematikës duhet të sistematizuar njohuritë e algjebër dhe gjeometri. Unë do të doja të kombinuar të gjithë informacionin njohur, të tilla si se si për të llogaritur zonën e një piramide. Për më tepër, duke filluar nga fundi dhe anën përballet me deri në të gjithë sipërfaqen. Nëse pala përballet me situata është e qartë, pasi ato janë trekëndëshat, baza është gjithmonë të ndryshme.

Si të jetë kur zona e bazës së piramidës?

Ajo mund të jetë mjaft ndonjë figurë nga një trekëndësh arbitrare të n-Gon. Dhe kjo bazë, me përjashtim të ndryshim në numrin e kënde, mund të jetë shifra e saktë apo të pasaktë. Në interes të studentëve detyrave në provim gjetur vetëm punë me shifrat e sakta në bazë. Prandaj, ne do të flasim vetëm rreth tyre.

trekëndësh barabrinjës

Kjo është barabrinjës. Një që të gjitha palët janë të barabarta dhe janë të caktuar nga shkronjën "a". Në këtë rast, zona baza e piramidës llogaritet nga formula:

S = (a ² * √3) / 4.

katror

Formula për të llogaritur zona e saj është e thjeshtë, është "a" - side është përsëri:

Dhe S = ^2.

Arbitrar rregullt n-gon

Në anët e poligonin i njëjti emërtim. Për numrin e kënde të përdorura Latine letër n.

S = (n * a ²⁾ / (4 * TG (180º / n)) .

Si për të hyrë në llogaritjen e zonës së sipërfaqes anësore dhe të plotë?

Që nga shifra bazë është e saktë, atëherë të gjitha fytyrat e piramidës janë të barabartë. Secila prej të cilave është një trekëndësh isosceles, pasi skajet anësore janë të barabartë. Pastaj, në mënyrë që të llogaritur zonën e një anë e piramidës duhet formulë që përbëhet nga shuma e monomials identike. Numri i termave përcaktohet nga sasia e palëve bazë.

Zona e një trekëndësh isosceles llogaritet nga formula në të cilën gjysma e produktit bazë është shumëzuar me lartësi. Kjo lartësi në piramidën e quajtur apothem. emërtimi i saj - "A". Formula e përgjithshme në zonën e sipërfaqes laterale eshte si me poshte:

S = ½ P * A, ku P - rrethues i bazës së piramide.

Ka raste kur ajo nuk është e njohur në anën bazë, por skajet anësore janë (a) të sheshtë dhe këndi në kulmin (α). Atëherë ajo mbështetet përdorur formulën e mëposhtme për të llogaritur zonën anësore e piramidës:

S = n / 2 deri në ² * α sin.

Task № 1

Kushti. Gjej sipërfaqe totale prej piramidës, nëse baza e saj është një trekëndësh barabrinjës me një anë prej 4 cm dhe ka vlerën √3 apothem cm.

Vendimi. Ajo duhet të fillojë me llogaritjen e bazës perimetrit. Që kjo është një trekëndësh të rregullt, atëherë P = 3 * 4 = 12 cm apothem Siç dihet, mund menjëherë të llogaritur zonën e të gjithë sipërfaqen anësore :. ½ * 12 * √3 = 6√3 ^cm2.

Për të marrë trekëndësh bazë është vlera e zonës (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^cm2.

Për të përcaktuar të gjithë zonën duhet të dele të dy vlerat që rezultojnë: 6√3 + 4√3 = 10√3 ^cm2.

Përgjigjja. 10√3 ^cm2.

Problem № 2

Kushti. Nuk është një piramidë të rregullt katërkëndësh. Gjatësia e bazës është i barabartë me 7 mm, në buzë laterale - 16 mm. Ju duhet të dini zonën e saj sipërfaqe.

Vendimi. Që shumëfaqësh - drejtkëndëshe dhe të sakta, në bazën e saj është një katror. Dëgjimi zonën bazë dhe anët anësore të jetë në gjendje për të numëruar piramidën katrore. Formula për sheshit është dhënë më sipër. Dhe unë e di të gjitha fytyrat anën e trekëndësh. Prandaj, ju mund të përdorni formulën Heron për llogaritjen zonat e tyre.

Llogaritjet e para janë të thjeshta dhe të çojë në këtë numër: 49 mm ^2. Për të llogaritur vlerën e dytë duhet semiperimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 mm. Tani ne mund të llogarisim zonën e një trekëndësh isosceles: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54644 mm ^2. Ka katër trekëndëshat, kështu që kur llogaritet numrat e fundit do të duhet të shumëzohen me 4.

Marrë: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 ^mm2.

Përgjigjja. 267,576 Vlera e dëshiruar prej ² mm.

Task № 3

Kushti. Në piramidën e rregullt katërkëndësh është e nevojshme për të llogaritur zonën. Ajo është e njohur anë e sheshit - 6 cm dhe lartësi 4 cm -.

Vendimi. Rruga lehtë për t'u përdorur formulën me produktin e perimetrit dhe apothem. Vlera e parë është gjetur vetëm. E dyta pak më e vështirë.

Ne do të duhet të mbani mend teoremën e Pitagorës dhe e konsiderojnë një trekëndësh të drejtë. Ajo është formuar nga lartësia e piramidës dhe apothem, e cila është hipotenuzë. Pjesën e dytë është sa gjysma e anë e sheshit, si një lartësi shumëfaqësh bie në mes të tij.

apothem favorizuar (hipotenuzë të një trekëndëshi duhur) është e barabartë me √ (March ² + 4 ²⁾ = 5 (cm).

Tani është e mundur për të llogaritur vlerën dëshiruar: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 (cm ^2).

Përgjigjja. 96 cm ^2.

Problem № 4

Kushti. Dana rregullt piramidale gjashtëkëndor. Anët e bazës së saj të barabartë me 22 mm, skajet anesore - 61 mm. Çfarë është zona e sipërfaqes anësore të këtij shumëfaqësh?

Vendimi. Arsyetimi në të janë të njëjta si përshkruhet në detyrë №2. Vetëm piramida është dhënë atje në sheshin e bazës, dhe tani ajo është një gjashtëkëndësh.

hapi i parë është llogaritur nga zona baze e formulës mësipërme ^{(6 * 22 2) / (} 4 * TG (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^cm2.

Tani ju duhet të gjeni gjysmë perimetrin e një trekëndësh isosceles, i cili është një fytyrë anë. (22 + 61 * 2) :. = 72 cm 2 mbetet në formulën Heron për të llogaritur zonën e secilit prej trekëndëshit, dhe pastaj të shumohen atë me gjashtë dele dhe një që doli të bazës.

Llogaritjet në formulën Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) ²⁾ = √435600 = 660 ^cm2. Llogaritjet që do të ofrojë sipërfaqe anësore sipërfaqe: 660 * 6 = 3960 ^cm2. Mbetet për të shtuar ato për të gjetur të gjithë sipërfaqen: 5217,47≈5217 cm ^2.

Përgjigjja. Grounds - 726√3 cm ^2, sipërfaqja anësore - 3960 cm ^2, e gjithë zona - 5217 cm ^2.