Shuma e këndeve të një trekëndëshi. Teorema mbi shumën e këndeve të trekëndëshit

Trekëndëshi është një poligonin ka tre anët (tre kënde). Më shpesh, pjesa shënohet me shkronja të vogla shkronja kapitale, të cilat përfaqësojnë vertices kundërta përkatëse. Në këtë artikull ne hedhim një vështrim në këto lloje të formave gjeometrike, teorema, e cila përcakton se çfarë është e barabartë me shumën e këndet e një trekëndëshi.

Llojet kënde më të mëdha

Llojet e mëposhtme të poligonin me tre vertices:

• akute-angled, ku të gjitha kënde të mprehtë;
• drejtkëndor duke pasur një kënd të drejtë, pala formimin atë, referuar këmbëve, dhe anën që është i predispozuar të kundërt me kënd të drejtë quhet hipotenuzë;
• mpirë kur një kënd është i trashë ;
• isosceles, të cilëve dy anët janë të barabartë, dhe ata janë quajtur lateral, dhe e treta - një trekëndësh me një bazë;
• barabrinjës ka tre anët barabarta.

pronat

Alokimi vetitë themelore që janë karakteristike për secilin lloj të trekëndëshit:

• përballë pala më e madhe është kënd gjithmonë më e madhe, dhe anasjelltas;
• janë kënde të barabarta përballë partisë të barabartë më të madhe, dhe anasjelltas;
• në çfarëdo trekëndëshi ka dy kënde akute;
• kënd jashtme e madhe se çdo kënd të brendshëm me to nuk ngjitur;
• shuma e çdo dy kënde është gjithmonë më pak se 180 gradë;
• kënd jashtme është e barabartë me shumën e dy qoshet e tjera, të cilat nuk janë mezhuyut me të.

Teorema mbi shumën e këndeve të trekëndëshit

Teorema thotë se në qoftë se ju të shtoni deri gjitha qoshet e formë gjeometrike, e cila është e vendosur në aeroplan Euklidiane, atëherë shuma e tyre do të jetë 180 gradë. Le të përpiqen për të provuar këtë teoremë.

Le të kemi një trekëndësh arbitrare me vertices KMN. Nëpër maja e M do të mbajë një paralele të drejtpërdrejtë linjës KN (edhe kjo linjë është quajtur Euklidi). Duhet të theksohet pika A në mënyrë që pikat K dhe A janë rregulluar nga anët e ndryshme të linjës MN. Ne kemi marrë të njëjtin kënd të AMS dhe MUF, e cila, si të brendshme, shtrihen gabimisht për të formuar intersecting MN në lidhje me CN drejtpërdrejtë dhe KK, të cilat janë paralele. Nga kjo rrjedh se shuma e këndeve të trekëndëshit, e vendosur në vertices e M dhe N është e barabartë me madhësinë e kënd CMA. Të tre kënde të përbëhet nga një shumë të barabartë me shumën e këndeve të AKPM-së dhe MCS. Që të dhënat janë kënde të brendshme relative linja paralele njëanshme CL dhe CM MA në intersecting, shuma e tyre është 180 gradë. Kjo provon teorema.

rezultat

Nga sa më sipër teorema e mësipërme nënkupton konkluzion e mëposhtme: çdo trekëndësh ka dy kënde akute. Për të provuar këtë, le të supozojmë se kjo shifër gjeometrike ka vetëm një kënd i ngushtë. Ju gjithashtu mund të supozojmë se asnjë nga qoshet nuk janë të mprehta. Në këtë rast ajo duhet të jetë të paktën dy kënde, madhësia e të cilave është e barabartë me ose më e madhe se 90 gradë. Por pastaj shuma e këndeve është më i madh se 180 gradë. Por kjo nuk mund të jetë, si në bazë të kënde shumës teorema e trekëndëshit është e barabartë me 180 ° - jo më shumë, jo më pak. Kjo është ajo që duhej të provuar.

Pronës jashtë qoshet

Cila është shuma e këndeve të një trekëndëshi, të cilat janë të jashtme? Përgjigja për këtë pyetje mund të merret duke aplikuar një nga dy mënyra. E para është që ju duhet për të gjetur shumën e këndeve, të cilat janë marrë një në çdo kulm, që është, tre kënde. E dyta nënkupton që ju duhet për të gjetur shumën e gjashtë kënde në vertices. Për t'u marrë me fillimin e mishërim parë. Kështu, trekëndësh përmban gjashtë qoshet e jashtme - në krye të secilit prej të dy. Secila palë ka kënde të barabarta ndërmjet tyre, pasi ata janë vertikale:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Përveç kësaj, ajo është e njohur se qoshe e jashtme e një trekëndësh është e barabartë me shumën e dy brendshme, të cilat nuk janë mezhuyutsya me të. për këtë arsye,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Nga kjo del se shuma e këndeve të jashtme, të cilat janë marrë një nga një pranë çdo kulm do të jetë e barabartë me:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Duke pasur parasysh faktin se shuma e kënde të barabartë 180 gradë, ajo mund të thuhet se ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. Kjo do të thotë se ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Nëse opsioni i dytë është përdorur, shuma e gjashtë kënde do të jetë më e madhe korresponduese dy herë. Dmth shuma e këndeve të një trekëndësh jashtë do të jenë:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

trekëndësh të drejtë

Çfarë është e barabartë me shumën e këndeve të një trekëndësh të drejtë, është ishulli? Përgjigja është, përsëri, nga teorema, i cili thotë se këndet e një trekëndëshi shtoni deri në 180 gradë. Një zë pohim ynë (prona) si vijon: në një trekëndësh të drejtë kënde të mprehta të shtoni deri në 90 gradë. Ne të provojë vërtetësinë e saj. Le të jetë dhënë trekëndësh KMN, e cila ∟N = 90 °. Është e nevojshme për të provuar se ∟K ∟M = + 90 °.

Kështu, sipas teorema mbi shumen e këndeve ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. Në këtë gjendje thuhet se ∟N = 90 °. Ajo rezulton ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Që është e ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. Kjo është ajo që ne duhet të provojë.

Përveç pronat e mësipërme të një trekëndësh të drejtë, ju mund të shtoni këto:

• kënde, që shtrihen kundër këmbëve janë të mprehtë;
• hipotenuzë i trekëndëshi madhe se ndonjë nga këmbët;
• shuma e këmbëve shumë se hipotenuzë;
• këmbën e trekëndëshit, e cila shtrihet në kundërshtim me kënd prej 30 gradë, gjysma e hipotenuzë, që është e barabartë me gjysmën e saj.

Si një tjetër pronë të formës gjeometrike mund të dallohen teoremën e Pitagorës. Ajo argumenton se në një trekëndësh me një kënd prej 90 gradë (drejtkëndëshe), shuma e sheshet e këmbëve është e barabartë me katrorin e hipotenuzë.

Shuma e këndeve të një trekëndësh isosceles

Më herët kemi thënë se një trekëndësh isosceles është një poligonin me tre vertices, që përmban dy anë të barabarta. Kjo pronë është e njohur figurën gjeometrike: kënde në bazën e saj të barabartë. Le ta provojë këtë.

Merrni trekëndësh KMN, e cila është isosceles, SC - bazën e saj. Ne jemi të detyruar për të provuar se ∟K = ∟N. Pra, le të supozojmë se MA - KMN është përgjysmues e trekëndëshit tonë. ICA trekëndësh me shenjën e parë të barazisë është trekëndësh MNA. Gjegjësisht, nga hipoteza duke pasur parasysh se CM = NM, MA është një anë të përbashkët, ∟1 = ∟2, sepse MA - kjo përgjysmues. Duke përdorur barazinë e dy trekëndëshat, mund të argumentohet se ∟K = ∟N. Prandaj, teorema është dëshmuar.

Por ne jemi të interesuar në, çfarë është shuma e këndeve të një trekëndësh isosceles (). Për shkak se në këtë drejtim nuk ka karakteristikat e tij, ne do të fillojmë nga teorema diskutuar më parë. Kjo është, ne mund të themi se ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, ose 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (si ∟K = ∟N). Kjo nuk do të provojë të pronës, si teorema mbi shumën e këndeve të një trekëndëshi është provuar më parë.

Përveç pronat konsiderohen të qoshet e një trekëndësh, ka edhe deklarata të tilla të rëndësishme:

• në një lartësi barabrinjës trekëndësh, e cila kishte qenë ulur në bazë, është njëkohësisht përgjysmues mesatare e kënd që është në mes të palëve të barabarta dhe boshtin e simetrisë së bazës së saj;
• mesatare (përgjysmues, lartësi), të cilat janë mbajtur në anët e një figure gjeometrike, janë të barabartë.

trekëndësh barabrinjës

Ajo është quajtur gjithashtu e drejta, është trekëndësh, të cilat janë të barabartë për të gjitha palët. Dhe për këtë arsye edhe të barabartë dhe kënde. Secili prej tyre është 60 gradë. Le ta provojë këtë pronë.

Le të supozojmë se kemi një trekëndësh KMN. Ne e dimë se KM = HM = KH. Kjo do të thotë se, në bazë të pasurisë së kënde të vendosura në bazë në një trekëndësh barabrinjës ∟K = ∟M = ∟N. Pasi, sipas shuma e këndeve të një teoremë trekëndëshit ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, atëherë x 3 = 180 ° ∟K ose ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Kështu, pohimi është dëshmuar. Siç shihet nga provat e mësipërme, bazuar në teorema e mësipërme, shuma e këndeve të një trekëndësh barabrinjës, si shuma e kënde të çdo trekëndësh tjetër është 180 gradë. Përsëri provuar këtë teoremë nuk është e nevojshme.

Ka ende disa prona karakteristike e një trekëndësh barabrinjës:

• lartësia mesatare përgjysmues në figurë gjeometrike identik, dhe kohëzgjatja e tyre është llogaritur si (a x √3): 2;
• Nëse kjo poligonin circumscribing rrethit, atëherë rrezja do të jetë e barabartë me (një x √3): 3;
• nëse gdhendur në një rreth trekëndësh barabrinjës, rrezja e tij do të jetë (a x √3): 6;
• zona e figurë gjeometrike është llogaritur nga formula: (a2 x √3): 4.

trekëndësh i mpirë

Nga përkufizimi, një trekëndësh i mpirë-angled, një nga qoshet e tij është në mes 90 deri në 180 gradë. Por, duke pasur parasysh faktin se dy këndet e tjera të formës gjeometrike të mprehtë, mund të konkludohet se ata nuk e tejkalojnë 90 gradë. Prandaj, shuma e këndeve të një teoremë trekëndësh punon në llogaritjen shumën e këndeve në një trekëndësh i mpirë. Pra, ne mund të sigurtë të themi, bazuar në teorema e mësipërme se shuma e këndeve pa peshë të një trekëndëshi është 180 gradë. Përsëri, kjo teoremë nuk ka nevojë të ri-dëshmi.