Pendulum: periudha dhe shpejtësinë e formulës

Sistemi mekanik që përbëhet nga një pike materiale (trup), e cila varet në një fije e hollë papeshë inextensible (masa e saj është e papërfillshme në krahasim me peshën e trupit) në një fushë uniforme gravitacionale, të quajtur lavjerrës matematikore (një emër tjetër - e oshilator). Ka lloje të tjera të pajisjeve. Në vend të një fije e hollë shufra papeshë mund të përdoret. Pendulum mund të zbulojë në mënyrë të qartë thelbin e shumë fenomene interesante. Kur vibracionet vogla amplituda e lëvizjes së saj quhet harmonik.

Informacione të përgjithshme në lidhje me sistemin mekanik

Formula e periudhës luhatje të lavjerrësit ishte edukuar Huygens holandezë shkencëtar (1629-1695 gg.). Ky bashkëkohës i Isak Njutonit ishte shumë i dhënë pas sistemit mekanik. Në vitin 1656 ai krijoi shikojnë parë me një mekanizëm lavjerrës. Ata matur kohën me saktësi ekstreme për ato kohë. Ky zbulim ishte një hap i madh në zhvillimin e eksperimenteve fizike dhe aktiviteteve praktike.

Nëse lavjerrës është në një pozitë të ekuilibrit (varur vertikalisht), më forca e gravitetit do të jetë i balancuar me forcë në tension fije. lavjerrës Flat në një fije jo-stretchable është një sistem me dy gradë të lirisë së komunikimit. Kur ndryshon vetëm një komponent i ndryshimit karakteristikat e të gjitha pjesët e saj. Për shembull, në qoftë se një fije është zëvendësuar nga një shkop, atëherë ky sistem mekanik është vetëm 1 shkalla e lirisë. Çfarë, atëherë, pronat e një lavjerrës matematik? Në këtë sistem të thjeshtë, nën ndikimin e një turbullim periodik, kaos duket. Në këtë rast, kur pika pezullimi nuk është duke lëvizur, dhe luhatet një lavjerrës ka një pozicion të ri ekuilibër. Nëse luhatjet e shpejta lart dhe poshtë këtë sistem mekanik bëhet pozicion të qëndrueshëm "kokëposhtë". Ajo gjithashtu ka emrin e vet. Ajo quhet Kapitza lavjerrës.

Pronat e lavjerrësit

Pendulum ka veti shumë interesante. Të gjithë ata janë të mbështetur nga ligjet e njohura fizike. Periudha e lëkundje të lavjerrësit ndonjë tjetër varet nga rrethana të ndryshme të tilla si madhësinë dhe formën e trupit, distanca ndërmjet pikës së pezullimit dhe qendra e gravitetit, shpërndarjen e peshës në lidhje me këtë pikë. Kjo është arsyeja pse përcaktimi i periudhës së varur trupit është mjaft sfiduese. Është shumë më e lehtë për të llogaritur periudhën e një lavjerrës të thjeshtë, formula e cila është dhënë më poshtë. Si rezultat i vëzhguar këto modele mund të vendosen në sisteme të ngjashme mekanike:

• Në qoftë se, duke ruajtur të njëjtën gjatësi e lavjerrësit, pezulluar nga një shumëllojshmëri e ngarkesave, periudha e lëkundje të marrë të njëjtën gjë, edhe pse pesha e tyre do të ndryshojnë në masë të madhe. Si pasojë, periudha e lavjerrësit nuk varet nga pesha e ngarkesës.

• Nëse sistemi fillon të bjerë në lavjerrësit nuk është shumë e madhe, por këndvështrime të ndryshme, ajo do të luhatet me të njëjtën periudhë, por në amplitudes të ndryshme. Ndërsa devijimet nga qendra e bilancit nuk është luhatjet shumë të mëdha në formën e tyre do të jenë mjaft të ngushtë harmonik. Periudha e një lavjerrës të tillë nuk varet amplitudë vibrational. Kjo pronë e sistemit mekanik quhet isochronism (në "Chronos" greqisht - kohë "Izosov" - të barabartë).

Periudha e një lavjerrës të thjeshtë

Kjo shifër përfaqëson periudhën e natyrshme e lëkundje. Pavarësisht formulimit kompleks, procesi në vetvete është shumë e thjeshtë. Nëse gjatësia e fije matematikore L lavjerrës, dhe nxitimi i rënies së g, kjo vlerë është e barabartë:

T = 2π√L / g

periudhë të vogël të oshilacione natyrore në asnjë mënyrë nuk varet nga masa e lavjerrësit dhe amplitudë luhatje. Në këtë rast, si një lavjerrës matematik lëviz me gjatësi të reduktuar.

Luhatjet e një lavjerrës matematik

lavjerrës matematike luhatet, të cilat mund të përshkruhet me një ekuacion të thjeshtë diferencial:

x + ω2 sin x = 0,

ku x (t) - funksion i panjohur (ky kënd i devijim nga pozicioni të poshtëm të ekuilibrit në kohë t, e shprehur në radian); ω - nje konstante pozitiv cila është përcaktuar nga parametrat e lavjerrësit (ω = √g / L, ku g - përshpejtimi e gravitetit, dhe L - gjatesia e një lavjerrës thjeshtë (suspendimi).

Ekuacioni luhatjet vogël pranë pozicionit të ekuilibrit (ekuacioni harmonik) si më poshtë:

x + ω2 sin x = 0

lëvizje Oscillatory e lavjerrësit

Pendulum, gjë që e bën luhatje të vogla, duke lëvizur sinusoid. ekuacion diferencial rendi i dytë i plotëson të gjitha kërkesat dhe parametrat e një lëvizjeje të tillë. Për të përcaktuar rrugën që ju duhet për të vendosur shpejtësinë dhe koordinatat, të cilat më vonë përcaktuara konstante të pavarura:

x = A sin (θ ₀ + ωt),

ku θ ₀ - fazë fillestare, A - amplituda e lëkundje, ω - frekuencë ciklik i vendosur nga ekuacionet e levizjes.

Pendulum (formula për amplituda mëdha)

Ky sistem mekanik, kryejnë luhatje e tyre me një amplitudë të madhe, ajo është subjekt i ligjeve më komplekse të trafikut. ata janë të llogaritur në bazë të formulës për një lavjerrës tillë:

sin x / 2 = u * sn (ωt / u),

ku Sn - sine Jacobi, i cili për të u <1 është një funksion periodik, dhe për të u të vogël ajo përkon me sine thjeshtë trigonometrike. Vlera e u është përcaktuar nga shprehje e mëposhtme:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

ku ε = E / ML2 (ML2 - energjinë e lavjerrësit).

Përcaktimin e periudhës jolineare luhatje të lavjerrësit me formulën e mëposhtme:

T = 2π / Ω,

ku Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - eliptike integral, π - 3,14.

lëvizja lavjerrës i separatrix

Ajo quhet separatrix trajektoren e sistemit dinamik, në të cilën një dy-dimensionale hapësirë faza. Lavjerrës lëviz në një jo-periodikisht. Në pikën pafundësisht e largët të kohës ajo bie nga pozita ekstreme sipërme drejt një shpejtësi zero, dhe pastaj ajo është gradualisht duke fituar. Ai përfundimisht u ndal, duke u kthyer në pozicionin e saj origjinale.

Nëse amplitudë e lëkundje të lavjerrësit afrohet numrin e pi, thuhet se mocioni në aeroplan fazë është i afërt me separatrix. Në këtë rast, nën veprimin e një force të vogël periodik lëvizëse të sistemit mekanik ekspozitave sjellje kaotike.

Në rast të një lavjerrës të thjeshtë nga pozicioni ekuilibri me një CP kënd ndodh forcë tangjencial Fτ = -mg e mëkatit φ gravitetit. "Minus" shenjë të thotë se komponent tangent drejtuar në drejtim të kundërt nga drejtimi i devijimit lavjerrësit. Kur referuar nëpërmjet zhvendosjes lavjerrës x përgjatë një harku rrethore me nje rreze L është e barabartë me zhvendosjen φ saj kendore = x / L. Ligji i dytë Isaaka Nyutona, i projektuar për projektimin e vektorit nxitimi dhe forca të japin vlerën e dëshiruar:

mg τ = Fτ = -mg sin x / L

Bazuar në këtë raport, është e qartë se lavjerrësi është një sistem jolineare, si një forcë që tenton të kthehet në pozicionin e saj të ekuilibrit, nuk është gjithmonë në proporcion me x zhvendosjes, mëkatin X / L.

Vetëm kur lavjerrësi matematik kryen dridhjet e vogla, ajo është një oshilator harmonik. Me fjalë të tjera, ai bëhet një sistem mekanik i aftë për kryerjen luhatje harmonik. Ky përafrim është i vlefshëm për pothuajse kënde 15-20 °. Pendulum me amplitudes të mëdha nuk është harmonike.

Ligji i Njutonit për luhatjet e vogla të një lavjerrës

Nëse sistemi mekanik kryen luhatje të vogla, ligji 2nd Njutonit do të duket si ky:

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

Mbi këtë bazë, ne mund të konkludojmë se përshpejtimi tangjencial e një lavjerrës të thjeshtë është proporcional me zhvendosjen e saj me shenjën "minus". Kjo është një gjendje ku sistemi bëhet një oshilator harmonik. Moduli faktor proporcionaliteti midis zhvendosjen e nxitimit është e barabartë me katrore e frekuencë këndore:

ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.

Kjo formulë reflekton frekuencën e natyrshme e oshilacione të vogla të këtij lloji të lavjerrës. Mbi këtë bazë,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Llogaritjet bazuar në ligjin e ruajtjes së energjisë

Prona lekundese lëvizjet lavjerrës mund të përshkruhet me ndihmën e ligjit të ruajtjes së energjisë. Ajo duhet të kihet parasysh se energjia potenciale e lavjerrësit në një fushë gravitacionale është:

E = mgΔh = MGL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Full energjia mekanike e barabartë potencialin kinetike dhe maksimale: Epmax = Ekmsx = E

Pasi ta keni shkruar ligjin e ruajtjes së energjisë, duke marrë derivatin e anët majtë dhe të djathtë të ekuacionit:

Ep + Ek = const

Që nga derivati i konstanteve është e barabartë me 0, pastaj (Ep + Ek) '= 0. Derivat i shumës barabartë me shumën e të derivativëve:

Ep '= (mg / L * X2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / L * v + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (V2) '= m / 2 * 2v * v '= mv * α,

për këtë arsye:

Mg / L * xv + MVA = v (mg / L * x + m α) = 0.

Bazuar në formulën e fundit, ne gjejmë: α = - g / L * x.

Aplikimi praktik i lavjerrësit matematik

Përshpejtimi i rënies së lirë ndryshon me gjerësi, sepse dendësia e kores rreth planetit jo identike. Ku shkëmbinj të ndodhë me një dendësi më të madhe, ajo do të jetë pak më të larta. Përshpejtimi i lavjerrësit matematikore është përdorur shpesh për eksplorim. Në sy të saj ndihmë për minerale të ndryshme. Thjesht duke numëruar numrin e oshilacione të një lavjerrës, është e mundur për të zbuluar qymyr ose ore në zorrët e Tokës. Kjo është për shkak të faktit se këto burime kanë një dendësi dhe peshë prej më shumë se shtrirë nën shkëmbinj të lirshme.

lavjerrës matematikore të përdorura nga studiues të tillë të shquar si Sokrati, Aristoteli, Platoni, Plutarku, Arkimedit. Shumë prej tyre besonin se sistemi mekanik mund të ndikojnë në fatin dhe jetën. Arkimedi përdorur lavjerrës matematikore me llogaritjet e tij. Në ditët e sotme, shumë occultists dhe psikologji përdorin këtë sistem mekanik për zbatimin e profecive të tij, ose kërkimin e njerëzve të humbur.

Astronomi i famshëm francez dhe shkencëtar, Flammarion për hulumtimet e tyre përdoret edhe një lavjerrës matematikore. Ai pohoi se me ndihmën e tij ai ishte në gjendje të parashikojnë zbulimin e një planet të ri, shfaqjen e meteorit Tunguska, dhe ngjarje të tjera të rëndësishme. Gjatë Luftës së Dytë Botërore në Gjermani (Berlin) ka punuar si një institut të specializuar të lavjerrësit. Në ditët e sotme, hulumtimi i tillë nuk është në dispozicion Instituti Munich i Sektorin e Parapsikologjise. Puna e tij me lavjerrës stafi i këtij institucioni të quajtur "radiesteziey".